積分公式-01

積分公式について，まとめてみました．

・\( \Large \displaystyle y = \int e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) \ dt \)

・部分積分

\( \Large \displaystyle (fg)' = f'g + fg' \)

\( \Large \displaystyle f'g = (fg)' - fg' \)

\( \Large \displaystyle \int f'g \ dt = fg - \int fg' \ dt \)

\( \Large \displaystyle f' = e^{- \alpha t} \rightarrow f = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \)

\( \Large \displaystyle g = sin ( \omega t) \rightarrow g' = \omega \ cos ( \omega t) \)

\( \Large \displaystyle \int e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) \ dt = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - \int - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \ \omega \ cos ( \omega t) \ dt\)

\( \Large \displaystyle \int - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \ \omega \ cos ( \omega t) \)

\( \Large \displaystyle f' = e^{- \alpha t} \rightarrow f = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \)

\( \Large \displaystyle g = cos ( \omega t) \rightarrow g' = - \omega \ sin ( \omega t) \)

\( \Large \displaystyle \int e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) \ dt = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) - \int - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \ (-\omega \ sin ( \omega t)) \ dt\)

\( \Large \displaystyle \int e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) \ dt = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - \int - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \ \omega \ cos ( \omega t) \ dt\)

\( \Large \displaystyle = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) \)

\( \Large \displaystyle + \frac{\omega}{\alpha} \left[- \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) - \int - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \ (-\omega \ sin ( \omega t)) \ dt \right] \)

\( \Large \displaystyle = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - \frac{\omega}{\alpha^2} e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) \) &- \frac{\omega^2}{\alpha^2} \int e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t) \ dt \)

\( \Large \displaystyle \left(1+\frac{\omega^2}{\alpha^2} \right)\int e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t) \ dt = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - \frac{\omega}{\alpha^2} e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) \)

\( \Large \displaystyle - \frac{\omega^2}{\alpha^2} \int e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t) \ dt \)

\( \Large \displaystyle \frac{\alpha^2 + \omega^2}{\alpha^2} \int e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t) \ dt = - \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - \frac{\omega}{\alpha^2} e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) \)

\( \Large \displaystyle \int e^{- \alpha t} \ sin ( \omega t) \ dt = \frac{\alpha^2}{\alpha^2 + \omega^2} \left[- \frac{1}{\alpha} e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - \frac{\omega}{\alpha^2} e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) \right]\)

\( \Large \displaystyle = \frac{1}{\alpha^2 + \omega^2} \left[- \alpha \ e^{- \alpha t} \cdot sin ( \omega t) - \omega \ e^{- \alpha t} \cdot cos ( \omega t) \right]\)

\( \Large \displaystyle = e^{- \alpha t} \frac{1}{\alpha^2 + \omega^2} \left[- \alpha \cdot sin ( \omega t) - \omega \ \cdot cos ( \omega t) \right]\)

次ページにはオイラーの公式を使ってみます．